定比分点公式及定理_多云赛事_多云体育

　　摘要：在本文中，我们将探讨一下线段定比分点的性质。

　　我们来回顾一下定比分点的概念。

　　如上图所示，线段AB上有一点P分线段AB的比为 $\lambda$ ，即 $\frac{AP}{PB}=\lambda$ 。

　　在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分为 (x_1,y_1) ， (x_2,y_2) ，P点坐标为 (x,y) ，且 $\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB} = \lambda$ ，那么我们就说P分有向线段 $\overline{AB}$ 的比为 $\lambda$ ，则有：

　　 $x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$ ， $y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$ ，这就是定比分点坐标公式。

　　当P为内分点时， $\lambda >0$ ;当P为外分点时， $\lambda <0(\lambda \ne -1)$ ;当P与A重合时， $\lambda =0$ ；当P与B重合时， $\lambda$ 不存在。

　　推导过程在任何的高中课本里都有，我们就不再推导了。

　　我们设过P点的一条直线方程为 Ax+By+C=0 ，由于点 $P( \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }, \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda })$ 在直线上，代入直线方程中便有：

　　 $A\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }+B\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }+C=0$ ，

　　从中可以解出： $\lambda = - \frac{Ax_1+By_1+C}{Ax_2+By_2+C}$ 。

　　这便是另一个定比分点公式，我们称为直线分线段比公式。

　　用这个公式来证明平面几何中的梅涅劳斯定理将会非常简单。

　　如上图所示，P、R、Q三点共线，我们设三角形三个顶点的坐标分别为： A(x_1,y_1) ， B(x_2,y_2) ， C(x_3,y_3) ，直线PQ的方程为 Ax+By+C=0 ，利用直线分线段比例定理分别对三角形ABC的三边使用，则有：

　　P分 $\overline{AB}$ 的比为： $\frac{\overline{AP}}{\overline{PB}} = - \frac{Ax_1+By_1+C}{Ax_2+By_2+C}$ ，

　　Q分 $\overline{BC}$ 的比为： $\frac{\overline{BQ}}{\overline{QC}} = - \frac{Ax_2+By_2+C}{Ax_3+By_3+C}$ ，

　　R分 $\overline{CA}$ 的比为： $\frac{\overline{CR}}{\overline{RA}} = - \frac{Ax_3+By_3+C}{Ax_1+By_1+C}$ ，

　　所以： $\frac{\overline{AP}}{\overline{PB}} \cdot \frac{\overline{BQ}}{\overline{QC}}\cdot \frac{\overline{CR}}{\overline{RA}} = - \frac{Ax_1+By_1+C}{Ax_2+By_2+C} \cdot - \frac{Ax_2+By_2+C}{Ax_3+By_3+C} \cdot - \frac{Ax_3+By_3+C}{Ax_1+By_1+C} = -1$ 。

　　如果不考虑正负号，则结果为1，这就是通常表述上的梅涅劳斯定理。

　　我们再来看下面的平面几何图形：

　　如上图所示，点T是线段PQ上的一点， $\frac{PT}{TQ} = \lambda$ ，需要说明的是，线段PQ和线段AB不能相交，则有： $S_{\triangle TAB} = \frac{ S_{\triangle PAB} + \lambda S_{\triangle QAB}}{1+\lambda }$ 。

　　证明：设四边形ABPQ的面积为S，于是：

　　 $S_{\triangle TAB} = S-S_{\triangle QAT}-S_{\triangle PBT}$

　　 $=S- \frac{1}{1+\lambda } S_{AQP}-\frac{\lambda }{1+\lambda }S_{\triangle BPQ}$ （利用同高的三角形面积比等于底边的比）

　　 $=S-\frac{1}{1+\lambda }(S-S_{\triangle PAB})-\frac{\lambda }{1+\lambda }(S-S_{\triangle QAB})$

　　 $=S-\frac{1}{1+\lambda}S-\frac{\lambda }{1+\lambda }S+\frac{1}{1+\lambda }S_{\triangle PAB}+ \frac{\lambda }{1+\lambda }S_{\triangle QAB}$

　　 $= \frac{ S_{\triangle PAB} + \lambda S_{\triangle QAB}}{1+\lambda }$

　　证毕。

　　我们称之为定比分点面积公式。

　　在定比分点的公式里，需要说明的是，如果我们令 $\frac{PT}{PQ} = \mu$ ，那么则有 $\frac{1}{1+\lambda } = \mu$ ， $\frac{\lambda }{1+\lambda } = 1- \mu$ ，于是定比分点面积公式可以写成： $S_{\triangle TAB} = \mu S_{\triangle PAB} +(1- \mu )S_{\triangle QAB}$ ，同理可以重写定比分点坐标公式。